نموذج ديباي

 نموذج ديباي

 لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن قانون إشعاع الجسم الأسود 

 حيث تُعامل الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . 

ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونونات في صندوق

 (الصندوق هو المادة الصلبة)

 ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . 

فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر 

وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة :

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

حيث:

${\displaystyle V}$ حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،

${\displaystyle F}$ هي معامل قام بحسابة بالاستعانة بمعامل المرونة و الكثافة.

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. 

تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة .

 ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها ${\displaystyle 3N}$ لعدد N من الذرات . 

وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد ${\displaystyle \nu _{m}}$ بحيث يكون عدد الحالات الكلي ${\displaystyle 3N}$:

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) 

 ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي .

 وبناء على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة :

${\displaystyle U=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

${\displaystyle =VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}$

حيث ${\displaystyle T_{D}}$ هي ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$.

${\displaystyle =9NkT(T/T_{D})^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,}$

${\displaystyle =3NkTD_{3}(T_{D}/T)^{3}\,,}$

حيث ${\displaystyle D_{3}}$ هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T³ عند درجات حرارة منخفضة جدا 

 ونستخدمها في تعيين تغير الإنتروبي بدرجة الحرارة.