الأحد، 18 نوفمبر 2018

منتج لانهائي


A المنتجات التي تنطوي على انهائي عدد من المصطلحات. يمكن لهذه المنتجات تتلاقى.
 في الواقع ، من أجل إيجابية a_n ، يتقارب المنتج product_ (ن = 1) ^ (infty) a_n مع عدد iff غير صفري يتقارب. sum_ (ن = 1) ^ (infty) lna_n
يمكن استخدام منتجات لا حصر لها لتحديد جيب التمام
cosx = product_ (ن = 1) ^ infty [1- (4X ^ 2) / (بي ^ 2 (2N-1) ^ 2)]،
(1)
غاما (ض) = [^ زي (gammaz) product_ (ص = 1) ^ infty (ض / ص 1 +) ه ^ (- ض / ص)] ^ (- 1)،
(2)
شرط ، وظيفة الصادق . تظهر أيضًا في حدود المضلعات ،
K = product_ (ن = 3) ^ infty1 / (كوس (بي / ن)).
(3)
مثيرة للاهتمام لانهائية صيغة المنتج بسبب يولر التي تتعلق متزمتو نال رئيس الوزراء p_n هو
متزمت=2 / (product_ (ن = 1) ^ (infty) [1+ (الخطيئة (1 / 2pip_n)) / (p_n)])
(4)
=2 / (product_ (ن = 2) ^ (infty) [1 + ((- 1) ^ ((p_n-1) / 2)) / (p_n)])
(5)
(Blatner 1997). توفر معادلة كنار معادلة وظيفية لدالة غاما غاما (خ) من حيث المنتج اللامتناهي
غاما (1 + ت) = 2 ^ (2V) product_ (م = 1) ^ infty [بي ^ (- 1/2) غاما (1/2 + 2 ^ (- م) ت)].
(6)
A المنتج تنظيما وتعطى الهوية
infty! = product_ (ك = 1) ^^^ inftyk = الجذر التربيعي (2pi)
(7)
(Muñoz Garcia and Pérez-Marco 2003، 2008).
product_ (ن = 0) ^ infty (1 + ص / (ن + س)) ه ^ (- ص / (ن + س)) = (ه ^ (ypsi_0 (خ)) غاما (خ)) / (غاما ( س + ص))،
(8)
حيث psi_0 (خ)هو وظيفة digamma و غاما (خ)هو دالة غاما .
الفئة التالية من المنتجات
product_ (ن = 2) ^ (infty) (ن ^ 2-1) / (ن ^ 2 + 1)=picschpi
(9)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (ن ^ 3-1) / (ن ^ 3 + 1)=2/3
(10)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (ن ^ 4-1) / (ن ^ 4 + 1)=-1 / 2pisinhpicsc [(- 1) ^ (1/4) بي] ديوان الخدمة المدنية [(- 1) ^ (3/4) بي]
(11)
=(pisinh (بي)) / (الهراوة (الجذر التربيعي (2) بي) -cos (الجذر التربيعي (2) بي))
(12)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (ن ^ 5-1) / (ن ^ 5 + 1)=(2Gamma (- (- 1) ^ (1/5)) غاما ((- 1) ^ (2/5)) غاما (- (- 1) ^ (3/5)) غاما ((- 1) ^ ( 05/04))) / (5Gamma ((- 1) ^ (1/5)) غاما (- (- 1) ^ (2/5)) غاما ((- 1) ^ (3/5)) غاما ( - (- 1) ^ (4/5)))
(13)
(Borwein et al. 2004، pp. 4-6) ، حيث غاما (ض)يمكن عمل وظيفة غاما ، أولها في Borwein و Corless (1999) ، بشكل تحليلي. على وجه الخصوص ، ل ص> 1،
product_ (n = 1؛ n! = m) ^ infty (n ^ rm ^ r) / (n ^ r + m ^ r) = (- 1) ^ (m + 1) (2mm!) / rproduct_ (j = 1) ^ (2R-1) [غاما (-momega_r ^ ي)] ^ ((- 1) ^ (ي + 1))،
(14)
حيث omega_k = ه ^ (المعهد الدولي للصحافة / ك)(Borwein et al. 2004، pp. 6-7). من غير المعروف ما إذا كانت ( 13 ) جبريًا ، على الرغم من أنه من المعروف أنه لا يرضي أي حد متعدد صحيح مع درجة أقل من 21 ومعيار إقليدي أقل من 5 × 10 ^ (18)(Borwein et al. 2004، p. 7).
يمكن عمل منتجات النموذج التالي بطريقة تحليلية ،
product_ (k = 1) ^ infty ((1 + k ^ (- 1)) ^ 2) / (1 + 2k ^ (- 1)) = 2 product_ (k = 1) ^ infty ((1 + k ^ ( -1) + k ^ (- 2)) ^ 2) / (1 + 2k ^ (- 1) + 3k ^ (- 2)) = (3sqrt (2) cosh ^ 2 (1 / 2pisqrt (3)) csch (pisqrt (2))) / pi product_ (k = 1) ^ infty ((1 + k ^ (- 1) + k ^ (- 2) + k ^ (- 3)) ^ 2) / (1 + 2k ^ (- 1) + 3k ^ (- 2) + 4k ^ (- 3)) = (sinh ^ 2piproduct_ (i = 1) ^ (3) Gamma (x_i)) / (pi ^ 2) product_ (k = 1 ) ^ infty ((1 + ك ^ (- 1) + ك ^ (- 2) + ك ^ (- 3) + ك ^ (- 4)) ^ 2) / (1 + 2K ^ (- 1) + 3K ^ (- 2) + 4K ^ (- 3) + 5K ^ (- 4)) = product_ (ط = 1) ^ 4 (غاما (y_i)) / (غاما ^ 2 (z_i))،
(15)
حيث x_i، y_iو z_iهي جذور
س ^ 3-5x ^ 2 + 10X 10=0
(16)
ذ ^ 4-6Y ^ 3 + 15Y ^ 2-20y + 15=0
(17)
ض ^ 4-5z ^ 3 + 10z ^ 2-10z + 5=0،
(18)
على التوالي ، يمكن أن يتم أيضا من الناحية التحليلية. لاحظ أن ( 17 ) و ( 18 ) كانوا غير معروفين لبوروين وكورلس (1999). هذه هي حالات خاصة للنتيجة التي
product_ (ك = 1) ^ infty (sum_ (ط = 1) ^ (ع) (a_i) / (ك ^ ط)) / (sum_ (ط = 0) ^ (ف) (b_i) / (ك ^ ط) ) = (b_q) / (a_p) (product_ (ط = 0) ^ (ف) غاما (-s_i)) / (product_ (ط = 0) ^ (ع) غاما (-r_i))،
(19)
إذا a_0 = b_0 = 1و A_1 = b_1، حيث r_iهو أناالجذر التاسع من sum_ (ي = 0) ^ (ع) a_j / ك ^ يو s_iهو أناالجذر التاسع من sum_ (ي = 0) ^ (ف) b_j / ك ^ ي(P. أبوت، بيرس. بالاتصالات.، 30 مارس 2006).
ل ك> = 2،
product_ (ن = 2) ^ infty (1-1 / (ن ^ ك)) = {1 / (kproduct_ (ي = 1) ^ (ك-1) غاما ((- 1) ^ (1 + ي (1+ 1 / k)))) لـ k odd؛ (product_ (j = 1) ^ ((k / 2) -1) sin [pi (-1) ^ (2j / k)]) / (k (pii) ^ ((k / 2) -1)) لـ ك حتى
(20)
(D. W. Cantrell، pers. comm.، Apr. 18، 2006). الحالات القليلة الأولى الواضحة هي
product_ (ن = 2) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ 2))=1/2
(21)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ 3))=(الهراوة (1 / 2pisqrt (3))) / (3pi)
(22)
=1 / (3Gamma ((- 1) ^ (1/3)) غاما (- (- 1) ^ (2/3)))
(23)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ 4))=(sinhpi) / (4pi)
(24)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ 5))=1 / (5Gamma ((- 1) ^ (1/5)) غاما (- (- 1) ^ (2/5)) غاما ((- 1) ^ (3/5)) غاما (- (- 1) ^ (4/5)))
(25)
product_ (ن = 2) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ 6))=(1 + الهراوة (pisqrt (3))) / (12pi ^ 2).
(26)
هذه هي حالة خاصة من الصيغة العامة
product_ (ك = 1) ^ infty (1- (س ^ ن) / (ك ^ ن)) = - 1 / (س ^ ن) product_ (ك = 0) ^ (ن 1) 1 / (غاما (- ه ^ (2piik / ن) خ))
(27)
(برودنيكوف وآخرون ، 1986 ، ص 754).
وبالمثل ، ل ك> = 2،
product_ (ن = 1) ^ infty (1 + 1 / (ن ^ ك)) = {1 / (product_ (ي = 1) ^ (ك-1) غاما [(- 1) ^ (ي (1 + 1 / k))]) for k odd؛ (product_ (j = 1) ^ (k / 2) sin [pi (-1) ^ ((2j-1) / k)]) / ((pii) ^ (k / 2)) لـ k حتى
(28)
(D. W. Cantrell، pers. comm.، Mar. 29، 2006). الحالات القليلة الأولى الواضحة هي
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ 2))=(sinhpi) / بي
(29)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ 3))=1 / picosh (1 / 2pisqrt (3))
(30)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ 4))=(الهراوة (pisqrt (2)) - كوس (pisqrt (2))) / (2pi ^ 2)
(31)
=- (الخطيئة [(- 1) ^ (1/4) ألترامرين الخطيئة [(- 1) ^ (3/4) بي]) / (بي ^ 2)
(32)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ 5))=| غاما [إكسب (2 / 5pii)] غاما [إكسب (6 / 5pii)] | ^ (- 2)
(33)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ 6))=(sinhpi [coshpi كوس (الجذر التربيعي (3) بي)]) / (2pi ^ 3).
(34)
و د التشابهى التعبير
[infty!] _ د = product_ (ن = 3) ^ infty (1- (2 ^ د) / (ن ^ د))
(35)
لديها أيضا أشكال التعبير مغلقة ،
product_ (ن = 3) ^ (infty) (1-4 / (ن ^ 2))=1/6
(36)
product_ (ن = 3) ^ (infty) (1-8 / (ن ^ 3))=(سينه (pisqrt (3))) / (42pisqrt (3))
(37)
product_ (ن = 3) ^ (infty) (1- (16) / (ن ^ 4))=(سينه (2pi)) / (120pi)
(38)
product_ (ن = 3) ^ (infty) (1- (32) / (ن ^ 5))=| غاما [إكسب (1 / 5pii)] غاما [2exp (7 / 5pii)] | ^ (- 2).
(39)
تشمل التعبيرات العامة للمنتجات اللانهائية من هذا النوع
product_ (ن = 1) ^ (infty) [1- (ض / ن) ^ (2N)]=(الخطيئة (PIZ)) / (PIZ ^ (2N-1)) product_ (ك = 1) ^ (N-1) | غاما (زي ^ (2pii (كيلو نيوتن) / (2N))) | ^ (- 2)
(40)
product_ (ن = 1) ^ (infty) [1+ (ض / ن) ^ (2N)]=1 / (ض ^ (2N)) product_ (ك = 1) ^ (N) | غاما (زي ^ (PII [2 (كيلو نيوتن) -1] / (2N))) | ^ (- 2)
(41)
product_ (ن = 1) ^ (infty) [1- (ض / ن) ^ (2N + 1)]=1 / (غاما (1-ض) ض ^ (2N)) product_ (ك = 1) ^ (N) | غاما (زي ^ (PII [2 (كيلو نيوتن) -1] / (2N + 1))) | ^ (-2)
(42)
product_ (ن = 1) ^ (infty) [1+ (ض / ن) ^ (2N + 1)]=1 / (غاما (1 + ض) ض ^ (2N)) product_ (ك = 1) ^ (N) | غاما (زي ^ (2pii (KN-1) / (2N + 1))) | ^ (- 2 )،
(43)
حيث غاما (ض)هي دالة غاما و | ض |يدل على معامل معقدة (Kahovec). ( 40 ) و ( 41 ) يمكن أيضا إعادة كتابتها
product_ (ن = 1) ^ (infty) [1- (ض / ن) ^ (2N)]=(الخطيئة (PIZ)) / (بي ^ ^ 3Z 2) [(سينه (PIZ)) / (PIZ)] ^ (وزارة الدفاع (N + 1،2)) × product_ (ك = 1) ^ ([N / 2 ] -1) الهراوة ^ 2 [pizsin ((KPI) / N)] - كوس ^ 2 [pizcos ((KPI) / N)]
(44)
product_ (ن = 1) ^ (infty) [1+ (ض / ن) ^ (2N)]=1 / (بي ^ 2Z ^ 2) [(سينه (PIZ)) / (PIZ)] ^ (وزارة الدفاع (N، 2)) × product_ (ك = 1) ^ (| _N / 2_ |) الهراوة ^ 2 [pizsin (((2K-1) بي) / (2N))] - كوس ^ 2 [pizcos (((2K-1) بي) / (2N))]،
(45)
أين | _x_ |هي وظيفة الكلمة ، [س]هي وظيفة السقف ، وزارة الدفاع (أ، م)ومعامل ا(وزارة الدفاع م) (Kahovec).
منتجات لانهائية من النموذج
product_ (ك = 1) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ ك))=(ن ^ (- 1)) _ infty
(46)
=ن ^ (1/24) [1 / 2theta_1 ^ '(0، ن ^ (- 1/2))] ^ (1/3)
(47)
تلتقي ل ن> 1، حيث (ف) _inftyهو ف -Pochhammer رمز و theta_n (ض، ف)هو وظيفة ثيتا جاكوبي . هنا ، فإن ن = 2الحالة هي بالضبط ثابت Qواجه في تحليل البحث الرقمي عن الأشجار .
وتشمل المنتجات الأخرى
product_ (ك = 1) ^ (infty) (1 + 2 / ك) ^ ((- 1) ^ (ك + 1) ك)=بي / (2E)
(48)
=0.57786367 ...
(49)
product_ (ك = 0) ^ (infty) (1 + ه ^ (- (2K + 1) بي))=2 ^ (1/4) ه ^ (- بي / 24)
(50)
product_ (ك = 3) ^ (infty) (1- (بي ^ 2) / (2K ^ 2)) ثانية (بي / ك)=0.86885742 ...
(51)
(OEIS A086056 and A247559 ؛ Prudnikov et al. 1986، p. 757). لاحظ أن Prudnikov وآخرون. (1986 ، ص 757) أيضا إعطاء المنتج بشكل غير صحيح
product_ (ك = 1) ^ infty (1-ه ^ (- 2pik / الجذر التربيعي (3))) = (ه ^ (- 2pi / الجذر التربيعي (3))) _ infty،
(52)
حيث (ف) _inftyهو ف -Pochhammer رمز ، و 3 ^ (1/4) ه ^ (- بي / (6sqrt (3)))الذي يختلف عن النتيجة الصحيحة من قبل 1.8 × 10 ^ (- 5).
يمكن أيضًا إجراء الفصول المماثلة التالية من المنتجات بشكل تحليلي (J. Zúñiga ، pers. comm. ، 9 نوفمبر 2004) ، حيث theta_n (ض، ف)تعد وظيفة Jacobi theta مرة أخرى ،
product_ (ك = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ ك))=ن ^ (1/24) theta_4 ^ (- 1/2) (0، ن ^ (- 1)) [1 / 2theta_1 ^ '(0، ن ^ (- 1))] ^ (1/6)
(53)
product_ (ك = 1) ^ (infty) ((1-ن ^ (- ك)) / (1 + ن ^ (- ك)))=product_ (ك = 1) ^ (infty) تان (1 / 2klnn)
(54)
=theta_4 (0، ن ^ (- 1))
(55)
product_ (ك = 1) ^ (infty) ((1-ن ^ (- 2K)) / (1 + ن ^ (- 2K))) ^ 2=product_ (ك = 1) ^ (infty) تان ^ 2 (klnn)
(56)
=(theta_1 ^ '(0، ن ^ (- 1))) / (theta_2 (0، ن ^ (- 1)))
(57)
product_ (ك = 1) ^ (infty) ((1-ن ^ (- 2K + 1)) / (1 + ن ^ (- 2K + 1))) ^ 2=product_ (ك = 1) ^ (infty) تان ^ 2 [(ك-1/2) LNN]
(58)
=(theta_4 (0، ن ^ (- 1))) / (theta_3 (0، ن ^ (- 1)))
(59)
product_ (ك = 1) ^ (infty) (1-1 / (ن ^ (2K-1)))=ن ^ (- 24/1) theta_4 ^ (1/2) (0، ن ^ (- 1)) [2 / (theta_1 ^ '(0، ن ^ (- 1)))] ^ (1/6)
(60)
product_ (ك = 1) ^ (infty) (1 + 1 / (ن ^ (2K-1)))=ن ^ (- 24/1) theta_3 ^ (1/2) (0، ن ^ (- 1)) [2 / (theta_1 ^ '(0، ن ^ (- 1)))] ^ (1/6)
(61)
product_ (ك = 1) ^ (infty) [1 + (- 1) ^ (ك-1) ب / (ك + أ)]=2 ^ b_2F_1 (أ + ب، ب، أ + 1؛ -1)
(62)
=(الجذر التربيعي (بي) غاما (أ + 1)) / (2 ^ aGamma (1/2 (2 + ب أ)) غاما (1/2 (1 + ب + أ))).
(63)
يمكن استخدام أول هذه العناصر للتعبير عن ثابت عامل فيبوناتشي في شكل مغلق.
يتم إعطاء فئة من المنتجات اللانهائية المشتقة من وظيفة G Barnes
product_ (ن = 1) ^ infty (1 + ض / ن) ^ شمال شرق ^ (- ي + Z ^ 2 / (2N)) = (G (ض + 1)) / ((2pi) ^ (ض / 2) ) ه ^ ([ض (ض + 1) + gammaz ^ 2] / 2)،
(64)
أين غاماهو ثابت أويلر ماسكيروني . ل ض = 1، 2 ، 3 ، و 4 ، يتم إعطاء المنتجات الصريحة من قبل
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 1 / ن) ^ ^ شمال شرق (1 / (2N) -1)=(ه ^ (1 + جاما / 2)) / (الجذر التربيعي (2pi))
(65)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 2 / ن) ^ ^ شمال شرق (4 / (2N) -2)=(ه ^ (3 + 2gamma)) / (2pi)
(66)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 3 / ن) ^ ^ شمال شرق (9 / (2N) -3)=(ه ^ (6 + 9gamma / 2)) / (الجذر التربيعي (2) بي ^ (3/2))
(67)
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + 4 / ن) ^ ^ شمال شرق (16 / (2N) -4)=(3E ^ (10 + 8gamma)) / (بي ^ 2).
(68)
الهويات المثيرة
xproduct_ (ن = 1) ^ infty ((1-س ^ (2N)) ^ 8) / ((1-س ^ (2N-1)) ^ 8) = sum_ (ن = 1) ^ infty2 ^ (3B ( ن)) sigma_3 (OD (ن)) س ^ ن
(69)
(إيويل 1995 و 2000)، حيث ب (ن)هو داعية للقوة بالضبط من 2 الفاصل ن، التطوير التنظيمي (ن) = ن / 2 ^ (ب) ن () هو جزء غريب من ن، sigma_k (ن)هو وظيفة المقسوم عليه من نو
product_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + س ^ (2N-1)) ^ 8=product_ (ن = 1) ^ (infty) (1-س ^ (2N-1)) ^ 8 + 16xproduct_ (ن = 1) ^ (infty) (1 + س ^ (2N)) ^ 8
(70)
=1 + 8X + 28X ^ 2 + 64x ^ 3 + 134x ^ 4 + 5 + إلى 288x ^ ...
(71)
(OEIS A101127 ؛ Jacobi 1829 ؛ Ford et al. 1994 ؛ Ewell 1998 ، 2000) ، وهذا الأخير الذي يعرف باسم "aequatio identica satis abstrusa" في الأدبيات الفيزيائية لنظرية الأوتار ، تنشأ علاقة مع وظيفة tau .
منتج لانهائي غير متوقع التي تنطوي tanxتعطى من قبل
| product_ (ك = 0) ^ infty [تان (2 ^ KX)] ^ (1 / (2 ^ ك)) | = 4sin ^ 2X
(72)
(Dobinski 1876، Agnew and Walker 1947).
يتم إعطاء هوية غريبة لأول مرة كتبها جوسبر
product_ (ن = 1) ^ (infty) 1 / ه (1 / (3N) +1) ^ (3N + 1/2)=الجذر التربيعي ((غاما (1/3)) / (2pi)) (3 ^ (13/24) إكسب [1+ (2pi ^ 2-3psi_1 (1/3)) / (12pisqrt (3))]) / ( A ^ 4)
(73)
=1،012378552722912 ...
(74)
(OEIS A100072 ) ، حيث غاما (ض)تكون وظيفة غاما ، psi_1 (ض)هي دالة trigamma ، اوهو ثابت Glaisher-Kinkelin .
مرسلة بواسطة في
التسميات:

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)