استمرارية تحليلية

توفر الاستمرارية التحليلية

 (التي يطلق عليها أحيانًا ببساطة "الاستمرارية")

 طريقة لتوسيع النطاق الذي يتم تحديد دالة معقدة عليه 

 التطبيق الأكثر شيوعا هو وظيفة تحليلية 

معقدة تحدد بالقرب من نقطة بواسطة سلسلة الطاقة

(1)

هذا التوسع في سلسلة الطاقة لا يكون صالحًا إلا ضمن نطاق التقارب .

 ومع ذلك، في ظل ظروف حظا 

(التي هي لحسن الحظ جدا أيضا شائعة بدلا من ذلك!)

 وظيفة سيكون له السلطة سلسلة التوسع صالحة ضمن أكبر من المتوقع

 دائرة نصف قطرها من التقارب 

 وهذه سلسلة الطاقة

 يمكن استخدامها لتحديد وظيفة خارج لها الأصلي نطاق التعريف.

 يسمح هذا ، على سبيل المثال 

بالتمديد الطبيعي للدوال المثلثية 

 الأسي 

 اللوغاريتمية 

 القوة 

 والوظائف الزائدية من الخط الحقيقي  إلى المستوى المعقد بأكمله . 

وبالمثل ، يمكن استخدام الاستمرارية التحليلية لتوسيع قيم 

وظيفة تحليلية عبر قطع فرع في المستوى المعقد .

السماح و تكون الدوال التحليلية في المجالات  و 

على التوالي، ونفترض أن تقاطع ليس فارغا

 وأنه على . ثم يسمى استمرارية تحليلية ل 

 والعكس بالعكس 

(Flanigan 1983 ، ص 234). وعلاوة على ذلك، إذا كان موجودا

 واستمرار التحليلي من ل هي فريدة من نوعها.

هذا التفرد في الاستمرارية التحليلية هو بيان مذهل وقوي للغاية. 

تقول في الواقع أن معرفة قيمة دالة معقدة في بعض المجال المعقد المحدود 

تحدد بشكل فريد قيمة الدالة في كل نقطة أخرى.

عن طريق الاستمرارية التحليلية ، بدءاً من تمثيل دالة بواسطة أي سلسلة طاقة واحدة 

 يمكن العثور على أي عدد من سلاسل الطاقة الأخرى

 التي تحدد معاً قيمة الدالة في جميع نقاط المجال . 

وعلاوة على ذلك، يمكن التوصل إلى أي نقطة من نقطة

 دون المرور من خلال التفرد وظيفة

ومجموع كل سلسلة السلطة وبالتالي 

الحصول يشكل التعبير التحليلي وظيفة 

(ويتاكر واتسون 1990، ص 97).

يمكن أن تؤدي الاستمرارية التحليلية إلى بعض الظواهر المثيرة 

للاهتمام مثل الوظائف متعددة القيم . 

على سبيل المثال 

النظر في مواصلة التحليلية من وظيفة الجذر التربيعي .

 على الرغم من أن هذه الوظيفة ليست على المستوى العالمي كذلك المعرفة من قبل

 (لأن كل عدد صفرية اثنين من الجذور التربيعية)

 لديه واضحة المعالم سلسلة تايلور حول ،

			(2)
			(3)

والتي يمكن استخدامها لتمديد المجال الذي تم تعريفه. لاحظ أنه عند و 

السلطة سلسلة ل ديه دائرة نصف قطرها من التقارب من 1.

يظهر الرسم المتحرك أعلاه الاستمرارية التحليلية على طول المسار .

 لاحظ أنه عندما تنتقل الدالة بالكامل ، تكون سلبية الدالة الأصلية 

لذا فإن الانتقال مرتين يعيد الدالة إلى قيمتها الأصلية.

في الرسم المتحرك ، يتم تعيين مساحة المجال 

(اللون الوردي ، الأشكال اليسرى) 

إلى مساحة الصورة 

(الأزرق الملون ، الأشكال الصحيحة) 

بواسطة الدالة الجذر التربيعي 

 وتشير المنطقة الزرقاء إلى الجذر التربيعي السالب. ومع ذلك 

من خلال الاستمرار في الوظيفة حول الدائرة 

تأخذ الدالة الجذر التربيعي قيمًا في ما كان يُستخدم في المنطقة ذات اللون الأزرق الفاتح 

 وبالتالي يتم عكس أدوار المنطقة الزرقاء والأزرق الفاتح.

يمكن تفسير ذلك على أنه الانتقال من أحد فروع الدالة 

الجذر التربيعي متعدد القيم إلى الآخر. 

يوضح هذا أن الاستمرار التحليلي يوسع وظيفة

 باستخدام القيم القريبة التي توفر المعلومات على سلسلة الطاقة.

من الممكن ألا تعود الدالة إلى نفس القيمة أبدًا. 

على سبيل المثال 

 يزيد في كل مرة يستمر حول الصفر.

 في نطاق الطبيعي

 وظيفة هو سلسلة القصوى من المجالات التي 

وظيفة لا يمكن أن تستمر من الناحية التحليلية إلى 

وظيفة واحدة قيمتها 

 ل 

 هو غطاء لانهائي متصل من الطائرة المثقوبة

ولها غطاء مزدوج متصل . 

إذا كان هناك حد لا يمكن تمديد الوظيفة عبره 

 يُسمى الحد الطبيعي . على سبيل المثال 

 توجد وظيفة meromorphic 

في قرص الوحدة حيث كل نقطة على دائرة الوحدة 

هي نقطة الحد من مجموعة الأعمدة . 

ثم تكون الدائرة حدًا طبيعيًا لـ .