معادلات كوشي- ريمان

سمح

(1)

أين

(2)

وبالتالي

(3)

الاجمالى المشتق بالنسبة لاحد هو

			(4)
			(5)

من حيث و ، ( 5 ) يصبح

			(6)
			(7)

على طول الحقيقية ، أو إكس -اكس ، ، لذلك

(8)

جنبا إلى جنب وهمية، أو ذ -axis ، ، لذلك

(9)

إذا هو مجمع للتفاضل ، ثم قيمة المشتقة يجب أن يكون الشيء نفسه بالنسبة معين ، بغض النظر عن توجهاتها. لذلك ، ( 8 ) يجب أن تساوي ( 9 ) ، الأمر الذي يتطلب ذلك

(10)

و

(11)

تُعرف هذه باسم معادلات Cauchy-Riemann.

إنها تؤدي إلى الظروف

			(12)
			(13)

معادلات كوشي - ريمان قد تكون مكتوبة بإيجاز

			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

حيث هو المترافقة معقدة .

إذا ، ثم تصبح معادلات كوشي-ريمان

			(18)
			(19)

(Abramowitz and Stegun 1972، p. 17).

إذا و تلبية معادلات كوشي-ريمان، كما أنها تلبي معادلة لابلاس في بعدين، منذ

(20)

(21)

من خلال اختيار تعسفي ، يمكن العثور على حلول تفي تلقائيًا بمعادلات كوشي-ريمان ومعادلة لابلاس . يتم استخدام هذه الحقيقة لاستخدام تعيينات توافقية لإيجاد حلول للمشاكل المادية التي تنطوي على إمكانات قياسية مثل تدفق السوائل والكهرباء الساكنة.