Lehmer's Mahler Measure Problem

و المشكلة التي لم تحل في الرياضيات يعزى إلى Lehmer و(1933) التي تتعلق الحد الأدنى لل قياس ماهلر  ل متعدد الحدود وحيد المتغير  ليست نتاج متعددو الحدود سايكلوتوميك . كان ليهمر (1933) يتصور أنه إذا كان مثل هذا كثير الحدود صحيحًا ، إذن

			(1)
			(2)

حيث ، يرمز إلى Lehmer (1933) و Hironaka (2009) ، هو أكبر الجذر الإيجابي لهذا متعدد الحدود. جذور هذا متعدد الحدود ، مرسوم في الشكل الأيسر أعلاه ، هي خاصة جدا ، لأن 8 من 10 تقع على دائرة الوحدة في الطائرة المعقدة . كما تم توضيح جذور كثيرات الحدود (التي يمثلها نصف معاملاتهم) والتي تعطي المقياسين التاليين الأصغر في ماهلر (Mossinghoff 1998، p. S11).

أفضل التزام حالي هو Smyth (1971) ، الذي أظهر أنه ، أين هو متعدد الحدود nonreciprocal nonreciprocal الذي ليس نتاج polynomials cyclotomic (ايفرست 1999) ،  وهو الجذر الحقيقي لل . تم إنشاء تعميمات نتيجة Smyth بواسطة Lloyd-Smith (1985) و Dubickas (1997).

بشكل عام ، تحدث أصغر إجراءات Mahler لكثيرات حدود متعددة صحيحة صغيرة في القيمة المطلقة. يُظهر الرسم البياني أعلاه توزيع المقاييس للمتعددات العشوائية العشوائية من الطلبيات العشوائية من 1 إلى 10. ويعطي Mossinghoff (1998) جدولاً لأصغر تدابير ماهلر المعروفة لدرجات متعددة الحدود حتى ، ويوضح لاحقاً أن أصغر مقياس ماهلر أكبر من 1 لجميع درجات تصل إلى 40 (Mossinghoff ، Hironaka 2009).

هو سالم ثابت .