تقسيم الاصطناعية

التقسيم الاصطناعي هو طريقة مختصرة لتقسيم اثنين من الحدود المتعددة التي يمكن استخدامها بدلاً من خوارزمية التقسيم الطويلة القياسية . هذا الأسلوب يقلل من أرباح و المقسوم متعددو الحدود إلى مجموعة من القيم الرقمية. بعد معالجة هذه القيم، يتم استخدام مجموعة الناتجة من المخرجات الرقمية لبناء حاصل متعدد الحدود و الباقي متعدد الحدود .

للحصول على مثال الانقسام الاصطناعية، والنظر في تقسيم  من قبل . أولاً ، إذا كانت هناك قوة مفقودة من متعدد الحدود ، فيجب إدراج مصطلح بهذه القوة ومعامل صفري في الموضع الصحيح في كثير الحدود المعني. في هذه الحالة ، يكون المصطلح مفقودًا من المقسوم في حين أن المصطلح مفقود من المقسوم ؛ لذلك ، يضاف بين الشروط الخماسية و التكعيبية للتوزيعات بينما يضاف بين المكعب و المصطلحات الخطية للمقسوم عليه:

(1)

و

(2)

على التوالي.

بعد ذلك ، تتم إزالة جميع المتغيرات وأساسيتها ( ) من العائد ، تاركة بدلا من ذلك قائمة تتكون فقط من معاملاتها : ، ، ، ، ، و . يتم وضع تسلسل الأرقام هذا في تكوين يشبه التقسيم:

ثم يتم إزالة المتغيرات بالمثل من القاسم ، مما يعطي تسلسل ، و ، و . نظرًا لأن المقسوم يفشل في أن يكون مسيطراً ، يجب على المرء أن يتتبع المعامل الرئيسي ( في هذه الحالة) ؛ بعد ذلك، يتم تجاهل معامل الرائدة في المقسوم وعلامات معاملات ما تبقى لديها هي "عكس"، مما ترك "تسلسل المعدل" لل ، و المقابلة لالمقسوم عليه. هذا التسلسل المعدل ، مع المعامل الرئيسي ، يتم تعبئته في التكوين الشبيه بالأداء الموضح أعلاه كما يلي:

يتم وضع الرقم الأول في المقسوم ( في هذه الحالة) في الموضع الأول لمنطقة النتيجة الأولى (أي الصف الأول تحت الخط الأفقي). هذا الرقم هو معامل المصطلح في كثير الحدود الأصلي لأرباح:

في هذه المرحلة ، لا بد من الاعتراف بالمعامل الرئيسي للمقسوم عليه ؛ قبل المتابعة ، يجب أن يقسم العدد الأول من المقسوم ( ) بواسطة هذا المعامل الرئيسي ( ) ، وسيتم تسجيل نتيجة ( ) في الموضع الأول لمنطقة النتيجة الثانية (أي الصف الثاني تحت الخط الأفقي) . هذا الرقم هو "معامل معدل" للمصطلح في المكاسب الأصلية بعد تقسيمه على المعامل الرئيسي للمقسوم عليه:

الآن، الإدخال الأول في هذه النتيجة آخر ( يتم ضرب) كل عنصر من عناصر تسلسل معامل من المقسوم عليه ( ، و )، وتوضع على المنتجات التي قطريا وفقا لأحكام أرباح القادمة على النحو التالي:

مع تقدم الخوارزمية ، يتم إضافة الأرقام من المقسوم بشكل منهجي إلى نتائج المضاعفات المنجزة ؛ على وجه الخصوص ، يحدث هذا الإضافة عندما يكون عنصر المنتج الناتج فوق الخط الأفقي مباشرةً. يتم وضع نتيجة الإضافة على خط النتيجة الأول:

عند هذه النقطة ، تتكرر العملية بشكل أساسي: يتم تقسيم الرقم المسقط الأخير من خط النتيجة الأول ( في هذه الحالة) بواسطة المعامل الرئيسي للمقسوم عليه ( ) لإعطاء رقم ( هنا) موضوعة على خط النتيجة الثاني:

يتم ضرب هذه النتيجة ( ) في تسلسل المقسوم الأيسر ( و ، و ) لإعطاء المنتجات ( و ، و ) التي يتم وضعها قطريًا وفقًا لشروط الأرباح التالية:

يأتي بعد ذلك إضافة على طول العمود التالي (عمود المكاسب ، هنا يتكون من ، و ) ، وينقسم نتيجة ذلك ( في هذه الحالة) بواسطة معامل المقسوم الرئيسي ( ) لإعطاء نتيجة لما يلي:

وأخيرا، تكرر العملية: يتم ضرب تسلسل ، ، لتسفر عن تسلسل ، ، الذي مرة أخرى يتم وضعها بشكل مائل تحت شروط أرباح المقابلة:

إضافة عمود لاحق (في العمود أرباح تتكون من ، ، ، ) ينتج نتيجة لذلك (أي )، ولأن أي مجموعات لاحقة من المنتجات سيتألف من أكثر من الأرقام (أي أرقام، واحدة لكل من أرقام التسلسل ثلاثة الأيسر ) من وجود شروط توزيعات متبقية (هناك نوعان من هذه المصطلحات ، وهما -الكفاءة والثابت ، ) ، ولا يتطلب أي منتجات إضافية. وبالتالي ، لا يجب تقسيم هذه النتيجة ( ) بواسطة معامل المقسوم الرئيسي ( ) ، حيث يمكن جمع الأعمدة المتبقية بدون تقسيم. يمكن تخطيط هذه الخطوة النهائية كما يلي:

والنتيجة هي قائمة من ستة أرقام (في أقصى اليسار ثلاثة من صف النتيجة الثاني وثلاثة في أقصى اليمين من صف النتيجة الأولى) ، وهما

(3)

من أجل تحديد أي من هذه الأرقام تصبح معاملات حاصل الحدود متعددة الحدود ، حدد أولاً عدد الأرقام في التسلسل الأيسر. ولأن هذا التسلسل يتكون من ثلاثة أرقام (أي ، و ، و ) ، فإن الأرقام الثلاثة الأولى (أي ، و ) من التسلسل (3) ستكون معاملات حاصل القسمة متعدد الحدود ، وهو متعدد الحدود والذي سيكون تربيعيًا بسبب حقيقة أن تم تقسيم خماسي بواسطة مكعب. وبالتالي ، فإن حاصل الحدود كثيرًا يكون بالشكل التالي:

(4)

وعلاوة على ذلك ، فإن الأعداد المتبقية (وهي ، و ، و ) من (3) تتطابق مع معاملات ما تبقى من كثير الحدود ؛ هنا،

(5)

يمكن دمج حاصل القسمة والبقية في تعبير واحد:

(6)

لاحظ أيضًا أن عمليات القسمة الوحيدة التي تم إجراؤها أثناء هذا الحساب كانت تتألف من قسمة الإدخالات من صف النتيجة الأول على معامل المقسوم الرئيسي ، حيث يترتب على ذلك حساب الحاصل (6) بعد إجراء ثلاثة أقسام فقط.

من غير المستغرب أن يتم التحقق من هذه العملية:

			(7)
			(8)

على وجه الخصوص ، يؤدي ضرب القسمة بواسطة المقسوم وإضافة الباقي إلى عائد الحدود الأصلي ، مما يؤكد صحة النتيجة.

ربما تكون العملية المذكورة أعلاه هي الحالة الأكثر شيوعًا للتقسيم التركيبي لمتعددات الحدود متعددة المتغيرات ؛ على هذا النحو ، يشار إليه أحيانا باسم التقسيم الاصطناعي المعمم أو الانقسام التخليقي الموسع أو التقسيم الصناعي الموسع المعمم. على الرغم من الخلط ، فإن الحالة الخاصة التي يكون فيها المقسوم عبارة عن كثير الحدود الأحادي (أي ليس أكثر من درجة التوزيعة) يشار إليه أحيانًا على أنه تقسيم تركيبي موسع ، في حين أن الحالة غالباً ما يشار إليها بمصطلح "قسم اصطناعي غير مؤهل". "يتكون من قاسم خطي ملاحم ويشار إليه بشكل رسمي أكثر باسم Ruffini's Rule .