الأحد، 18 نوفمبر 2018

مشكلة ستيفي


طلبت إحدى أسئلة العمل المنزلي المقترحة في فصل الرياضيات
 في شتيفي في يناير 2003 من الطلاب أن يثبتوا أنه لا توجد نسبة لاثنين 
من الأعداد غير المتساوية التي تم الحصول عليها 
عن طريق استخدام جميعالأرقام 1 ، 2 ، ... ، 7 
في عدد صحيح. 
في حالة وجود مثل هذه النسبة ص
عندها سيكون هناك حاجة إلى تقسيم جزء من 1234567 ص. صيمكن 
أن يكون مقيدًا على الفور 2 <= ص <= 6
 حيث يجب أن تكون نسبة التباديل في أول
 سبعة أرقام أقل من 7654321/1234567 = 6.2 ...
 وتبين أن التباديل غير متكافئ ، لذلك ص! = 1. ص = 3يمكن استبعاد الحالة
 من خلال اختبار القسمة على 3 
 والذي يشير إلى أن الرقم قابل للقسمة على 3 iff 
ومجموع أرقامه قابل للقسمة على 3. 
بما أن مجموع الأرقام من 1 إلى 7 هو 28 ، وهو ليس قابلاً للقسمة على 3 
 فلا يوجد تقليب لهذه الأرقام القابلة للقسمة على 3. 
وهذا أيضًا يزيل ص = 6كاحتمال ، يجب أن يكون العدد قابلاً للقسمة على 3 ليكون القسمة على 6.
هذا يترك فقط الحالات ص = 2، 4 
 و 5 للنظر فيها. في ص = 5حالة يمكن القضاء عليها مشيرا إلى أنه من أجل أن تكون القسمة على 5
 وأرقام الأخيرة من البسط والمقام يجب أن يكون 5 و 1 على التوالي
(...... 5) / (...... 1).
(1)
إن أكبر نسبة ممكنة يمكن الحصول عليها ستستخدم بعد ذلك
 أكبر عدد ممكن في البسط 
وأصغر عدد ممكن في المقام 
(7643215) / (2345671)
(2)
ولكن 764321/2345671 = 3.25843 <5
 لذلك ليس من الممكن إنشاء جزء قابل للقسمة على 5. 
لذا ، ص = 2يجب النظر فقط و 4 فقط .
بشكل عام ، ضع في اعتبارك أعداد أزواج التباينات غير المتساوية
 لكل الأرقام 12 ... k_bفي القاعدة ب( ك <ب) التي تكون نسبتها عددًا صحيحًا.
 ثم هناك (ب = 4، ك = 3)حل فريد
(312_4) / (123_4) = 2،
(3)
(5،4)حل فريد
(4312_5) / (1234_5) = 3،
(4)
ثلاثة (6،4)حلول
(3124_6) / (1342_6)=2
(5)
(4213_6) / (1243_6)=3
(6)
(4312_6) / (2134_6)=2
(7)
وما إلى ذلك وهلم جرا.
كيتم تلخيص عدد الحلول للقواعد 
والأعداد القليلة الأولى من الأرقام في الجدول أدناه 
(OEIS A080202 ).
بحلول للأرقام 12_b، 123_b، ... ،12 ... (1-ب) _b
30
40 ، 1
50 ، 0 ، 1
60 ، 0 ، 3 ، 25
70 ، 0 ، 0 ، 2 ، 7
80 ، 0 ، 0 ، 0 ، 68 ، 623
90 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 124 ، 1183
100 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 2338 ، 24603
110 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 3 ، 598 ، 5895
120 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 161947 ، 2017603
كما يمكن رؤيته من الجدول 
 في القاعدة 10 
 الحلول الوحيدة للأرقام 12345678 
و 123456789. 
من الحلول 12345678_ (10)
هناك نوعان من الحلول التي تنتج ثلاثة أعداد صحيحة
 مختلفة لنفس البسط:
(85427136) / (42713568)=2 (85427136) / (21356784) = 4، (85427136) / (14237856) = 6
(8)
(86314572) / (43157286)=2 (86314572) / (21578643) = 4، (86314572) / (14385762) = 6.
(9)
أخذ الإدخالات القطرية (ب، ب 1)
من هذه القائمة لـ ب = 34 ، ... 
يعطي التسلسل 
0 ، 1 ، 1 ، 25 ، 7 ، 623 ، 1183 ، 24603 ، ... 
(OEIS A080203 ).
مرسلة بواسطة في
التسميات:

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)