الاهليلجيه المنحنى

بشكل غير رسمي ، يمثل المنحنى البيضاوي نوعًا من المنحنيات التكعيبية التي تقتصر حلولها على منطقة من الفضاء 

تكافئ طبقًا لطائرًا . 

و ظيفة بيضاوي الشكل weierstrass بالمجلس 

 يصف كيفية الحصول من هذا الحيد إلى النموذج جبري من المنحنى البيضاوي.

رسميا، وهو المنحنى البيضاوي على الحقل  هو nonsingular منحنى مكعب في اثنين من المتغيرات

 مع نقطة -rational 

(والذي قد يكون نقطة في اللانهاية ). في الحقل  يؤخذ عادة أن تكون معقدة الأرقام  ، ريال  

rationals  ، ملحقات جبري 

 ص أرقام -adic  ، أو حقل منته .

بواسطة تغيير ملائم للمتغيرات ، منحنى إهليلجي عام على حقل ذو خاصية حقل  ، منحنى عام مكعب

(1)

حيث ، ، ... ، هي عناصر ، يمكن كتابتها في النموذج

(2)

حيث لا يحتوي الجانب الأيمن من ( 2 ) على عوامل متكررة. يمكن أيضًا كتابة أي منحنى إهليلجي ليس بخاصية 2 أو 3 في شكل Legendre العادي

(3)

(Hartshorne 1999).

يتم توضيح المنحنيات الاهليلجية أعلاه لمختلف القيم و .

إذا كان لخاصية الحقل ثلاثة ، فإن أفضل ما يمكن فعله هو تحويل المنحنى إلى

(4)

( لا يمكن استبعاد المصطلح). إذا ديه حقل مميزة اثنين، ثم يزداد الوضع سوءا. ويسمى الشكل العام الذي يمكن من خلاله تحويل المنحنى البيضاوي فوق أي شكل Weierstrass ، ويعطى من قبل

(5)

حيث ، ، ، ، و عناصر من . لحسن الحظ، ، ، و جميعها الحقل مميزة الصفر.

ويعرف منحنى إهليلجي للنموذج لعدد صحيح باسم منحنى موردل .

في حين أن المقاطع المخروطية يمكن أن تكون معلمة بالوظائف العقلانية ، لا يمكن منحنيات إهليلجية. أبسط وظائف المعلمة هي الدوال الاهليلجية .

يمكن اعتبار أصناف أبيليان تعميمات للمنحنيات الإهليلجية.

إذا كان الحقل الأساسي لمنحنق إهليلجي مغلقًا جبريًا ، فسيقوم الخط المستقيم بتقطيع منحنى إهليلجي عند ثلاث نقاط (عد الجذور المتعددة عند نقاط التماس). إذا كان من المعروف اثنين ، فمن الممكن لحساب الثالث. إذا كان اثنان من نقاط التقاطع هي - عقلانية ، حتى ذلك الحين هو الثالث. أثبت Mazur و Tate (1973/1974) أنه لا يوجد منحنى إهليلجي لوجود نقطة عقلانية 13.

السماح و تكون نقطتين على منحنى بيضاوي الشكل مع التمايز بيضاوي الشكل

(6)

مرضيه

(7)

كمية ذات الصلة المعروفة باسم ي -invariant من يعرف بأنه

(8)

الآن حدد

(9)

ثم إحداثيات النقطة الثالثة هي

			(10)
			(11)

بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية ، أثبت موردل وجود عدد محدود من الحلول المتكاملة. و نظرية Mordell-ويل تقول إن مجموعة من النقاط عقلانية من المنحنى البيضاوي على تتولد بشكل محدود. السماح لل جذورمن تكون ، و . المميّز إذن

(12)

يوضح تخمين تانياما-شيمورا المذهل أن جميع المنحنيات الناقصية المنطقية هي أيضا وحدات. هذه الحقيقة أبعد ما تكون عن الوضوح ، وعلى الرغم من حقيقة أن هذا التخمين قد تم اقتراحه في عام 1955 ، إلا أنه لم يتم إثباته بشكل جزئي حتى عام 1995. 

ومع ذلك ، فإن دليل ويلز للحالة القابلة للدراسة فاجأ معظم علماء الرياضيات ، الذين كانوا يعتقدون أن التخمين لا يمكن الوصول إليه. وكإحدى الفوائد الجانبية ، فإن دليل ويليس لتخمين تانياما-شيمورا قد وضع أيضا المشكلة الشهيرة والشائكة التي حيرت علماء الرياضيات لمئات السنين ، مبرهنة فيرما الأخيرة .

يتم سرد منحنيات مع j -conductors الصغيرة في Swinnerton-Dyer

 (1975) و Cremona (1997). 

يتم إعطاء طرق حساب النقاط المتكاملة (النقاط ذات الإحداثيات المتكاملة) في Gebel et al. Stroeker and Tzanakis

 (1994). 

على خوارزمية شوف-Elkies-آتكن يمكن استخدامها لتحديد الترتيب من المنحنى البيضاوي على مجال محدود  .