ي-وظيفة

و -function هو وظيفة وحدات محددة من قبل

(1)

حيث هو نسبة نصف فترة ، ،

(2)

هو ثابت مطلق كلاين ، هو وظيفة لامدا الإهليلجية

(3)

هي وظائف جاكوبي ثيتا ،

(4)

هي ال Nome و .

كان غاوس على ما يبدو على علم بالوظيفة قبل عام 1800. استخدمها هيرميت في حل الخماسي في حوالي 1858. أعطى Dedekind تعريفًا جيدًا في حوالي عام 1877 ، ودرس كلاين الوظيفة التي بدأت في عام 1879 أو 1880. ويرتبط هذا العامل بالعوامل من أجل مجموعة من مجموعة الوحش و supersingular يعبي (فوربيس 1980).

ويمكن أيضا أن هذه الوظيفة أن تكون محددة من حيث المهام ويبر  ، ، ، ، و كما

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

(Weber 1979، p. 179؛ Atkin and Morain 1993).

و -function هو الدوال التحليلية على العلوية نصف الطائرة، وهي ثابتة فيما يتعلق مجموعة خطية خاصة  . لديها سلسلة فورييه

(10)

أين

(11)

وبالتالي يرتبط عبر

(12)

معاملات في التوسع في وظيفة تلبي:

1. ل و ،

2. جميع ق هي الأعداد الصحيحة مع نمو محدود نسبيا فيما يتعلق ، و

3. هو رقم جبري ، وأحيانًا رقم منطقي ، وأحيانًا عدد صحيح في بعض القيم الخاصة جدًا .

النتيجة الأخيرة هي النتيجة النهائية للنظرية الضخمة والجميلة للإكثار المعقد والخطوة الأولى لكرونيكر المسمى " جوجيندراوم ".

لذلك كل من المعاملات في سلسلة لوران

(13)

(OEIS A000521 ) هي أعداد صحيحة موجبة (رانكين ، 1977 ، أبوستول 1997). بيرويك (1916) حسب السبعة الأولى ، وجد زوكرمان (1939) أول 24 ، وقدم فان ويجنجاردن (193) أول 100.

بعض الصيغ مبلغ ملحوظة مرتبطة ل ، حيث هي العليا نصف بالطائرة ، و تشمل

			(14)
			(15)
			(16)

حيث هو سلسلة آيزنشتاين ، هو ف -Pochhammer رمز ، و

(17)

أين هي وظيفة المقسوم ، وهي دالة تاو (يجب عدم الخلط بينها وبين نسبة نصف الفترة  ). بالاضافة،

(18)

(Lehmer 1942؛ Apostol 1997، p. 92). ترتبط هذه بشكل وثيق سلسلة آيزنشتاين .

المعادلة ( 18 ) تؤدي على الفور إلى التطابق الملحوظ

(19)

أظهر ليهمر (1942) ذلك

(20)

للجميع ، و Lehner (1949ab) وأبوستول (1997 ، ص 22 ، 74 ، و90-91) أظهروا

	(21)
	(22)
	(23)
	(24)
	(25)

بشكل عام،

	(26)
	(27)
	(28)
	(29)

(Lehner 1949ab؛ Apostol 1997، p. 91). لا يمكن أن تتطابق التوافقات من هذا النوع مع 13 ، لكن نيومان (1958) أظهر

(30)

حيث و إذا لم يكن عدد صحيح (Apostol 1997 ، ص 91). Congruences ل تم تعميمها من قبل آتكن واوبراين (1967).

تم اكتشاف صيغة مقاربه من قبل بيترسون (1932) ، ومن ثم تم اكتشافها بشكل مستقل من قبل راديماشر (1938):

(31)

اسمحوا يكون squarefree صحيح موجب ، وتحديد نسبة نصف فترة من

(32)

وبالتالي

(33)

ثم تبين أن هو عدد صحيح جبري درجة ، حيث هو رقم الفئة من ثنائي الدرجة الثانية شكل التمايز  من الحقل من الدرجة الثانية  (سيلفرمان 1986؛. بيرند 1994، ص 90).

إذا ، هو عدد صحيح جبرية من الدرجة 1 ، أي ، مجرد عدد صحيح عادي . علاوة على ذلك ، العدد الصحيح هو المكعب المثالي . ولكن هذه هي بالضبط أرقام هيجنر  ، ، ، ، ، ، ، ، ، . القيم الدقيقة المقابلة لأرقام هيجنر هي

			(34)
			(35)
			(36)
			(37)
			(38)
			(39)
			(40)
			(41)
			(42)

يتم توضيح مواقف هذه القيم الخاصة أعلاه. (لاحظ أن الفضول رقم 5280 هو عدد الأقدام في ميل أيضًا).

كلما زاد عدد Heegner (في القيمة المطلقة ) ، كلما كان أقرب إلى عدد صحيح هو التعبير ، لأن المصطلح الأولي في أكبر المصطلحات واللاحقة هو الأصغر. وبالتالي فإن أفضل التقريب 

			(43)
			(44)
			(45)

(يظهر الأخير في تروت 2004 ، ص 8). و تقريبا عدد صحيح الناتجة عن آخر هذه،  (الموافق مجال و حقل تربيعي وهمي من التمايز الأقصى)، والتي تعرف أحيانا باسم ثابت رامانوجان. ومع ذلك ، فإن هذا الإسناد تاريخياً خادع لأن هذه الخاصية المدهشة لأول مرة قد لاحظها Hermite (1859) ولا يبدو أنها تظهر في أي من أعمال Ramanujan.

هناك 18 رقمًا لها رقم صنف  ، مع عدم تمييز القسائم الفردية بمقدار ثلاثة يقابل القيم الدقيقة

			(46)
			(47)
			(48)
			(49)
			(50)
			(51)
			(52)

وحتى ل ، 10، 13، 22، 37، 58،

			(53)
			(54)
			(55)
			(56)
			(57)
			(58)

والتمييز يقبل القسمة على 3 ،

			(59)
			(60)
			(61)
			(62)
			(63)

مع عامل مربع يجري وحدة أساسية.

أفضل التقديرات بالنسبة إلى ، حتى بالنسبة للمتميزين ،

(64)

وبالنسبة للتمييزات الفردية ،

(65)

الارقام

			(66)
			(67)
			(68)

هي أيضا الأعداد الصحيحة تقريبا . هذه تتوافق مع الأشكال الثنائية التربيعية مع التمييز ، و ، والتي هي أكبر (في القيمة المطلقة) من التمييز مع الفئة الثانية التي يمكن القسمة عليها 4. وقد لاحظت من قبل Ramanujan (Berndt 1994 ، ص 88-91).