النسبة الذهبية

النسبة الذهبية، المعروف أيضا باسم نسبة الإلهية، الوسطية، أو المقطع الذهبي، هو رقم اجه كثير من الأحيان عندما أخذ نسب مسافات في أشكال هندسية بسيطة مثل البنتاغون ، نجمة خماسية ، عشري الأضلاع والثنعشري . هو دلالة ، أو في بعض الأحيان .

في بعض الأحيان ، يتم استخدام التسميات "phi" (بالنسبة إلى النسبة الذهبية المترافقة  ) و "Phi" (للكمية الأكبر ) (Knott) ، على الرغم من أن هذا الاستخدام ليس بالضرورة موصى به.

يبدو أن مصطلح "القسم الذهبي" (بالألمانية ، Goldener Schnitt أو der goldene Schnitt ) قد استخدم لأول مرة من قبل مارتن أوم في الطبعة الثانية لعام 1835 من كتابه المصمم Die Reine Elementar-Mathematik (Livio 2002، p. 6). أول استخدام معروف لهذا المصطلح في اللغة الإنجليزية هو في مقال جيمس سولي في 1875 حول علم الجمال في الطبعة التاسعة من موسوعة بريتانيكا. على ما يبدو تم استخدام الرمز ("phi") لأول مرة من قبل مارك بار في بداية القرن 20th في إحياء ذكرى النحات اليوناني Phidias (حوالي 490-430 قبل الميلاد) ، الذي يدعي عدد من مؤرخي الفن استخدام واسع من الذهبي النسبة في أعماله (Livio 2002، pp. 5-6). وبالمثل ، فإن الترميز البديل هو اختصار للغة اليونانيةتومي ، وهذا يعني "لقطع".

في حلقة الموسم الأول " سابوتاج " (2005) لدرمة الجريمة التلفزيونية رقم (2) ، ذكر عبقري الرياضيات تشارلي إيبس أن النسبة الذهبية موجودة في أهرامات الجيزة و البارثينون في أثينا. وبالمثل ، فإن شخصية روبرت لانغدون في رواية "شفرة دافنشي" تحمل نفس هذه العبارات (Brown 2003، pp. 93-95). ومع ذلك ، فإن المزاعم المتعلقة بأهمية النسبة الذهبية التي تظهر بشكل بارز في الفن ، والهندسة المعمارية ، والنحت ، والتشريح ، وما إلى ذلك ، تميل إلى أن تكون مبالغًا فيها إلى حد كبير.

لديه اتصالات مفاجئة مع استمرار كسور و الخوارزمية الإقليدية لحساب القاسم المشترك الأكبر لاثنين من الأعداد الصحيحة .

بالنظر إلى مستطيل له جوانب في النسبة ، يتم تعريفه بالرقم الفريد مثل تقسيم المستطيل الأصلي إلى مربع ومستطيل جديد كما هو موضح أعلاه ينتج في مستطيل جديد له أيضًا جوانب في النسبة (علىسبيل المثال ، مثل المستطيلات الصفراء) الموضحة أعلاه متشابهة). هذا المستطيل يسمى المستطيل الذهبي ، ونقاط متتالية تقسيم المستطيل الذهبي في الساحات تكمن في دوامة لوغاريتمي ، وإعطاء الرقم المعروفة باسمساحة المولوية .

استنادا إلى التعريف المذكور أعلاه ، يمكن أن ينظر إليه على الفور

(1)

إعطاء

(2)

اقليدس كاليفورنيا. أعطى 300 قبل الميلاد تعريفًا مكافئًا بتعريفه من حيث ما يسمى "النسب القصوى والمتوسطة" على جزء من الخط ، أي

(3)

ل شريحة خط  يتضح فوق (ليفيو 2002، ص 3-4). توصيل،

(4)

وتطهير القواسم يعطي

(5)

وهو بالضبط نفس الصيغة التي تم الحصول عليها أعلاه (ويعني بالمناسبة أن هو عدد جبري من درجة 2.) باستخدام معادلة من الدرجة الثانية واتخاذ علامة إيجابية (منذ يعرف هذا الرقم بحيث ) يعطي القيمة الدقيقة ، وهما

			(6)
			(7)

(OEIS A001622 ). تُعرف الأرقام الأولية التي تظهر في أرقام متتالية للتوسّع العشري (بداية من الأول) بأعداد phi-primes .

في سوء فهم واضح واضح للفرق بين كمية دقيقة وتقريب ، فإن شخصية روبرت لانغدون في رواية شيفرة دافنشي تحدد بشكل غير صحيح النسبة الذهبية لتكون بالضبط 1.618 (براون 2003 ، ص. 93-95).

الساقين من المثلث الذهبي (وهو مثلث متساوي الساقين مع زاوية الرأس من ) هي في نسبة ذهبية لقاعدتها و، في الواقع، كان هذا هو الأسلوب المتبع من قبل فيثاغورس لبناء . نسبة circumradius إلى طول الجانب من decagon هو أيضا ،

(8)

يصيغ الصليب الديجولي (التخطيطي) أيضا نسبة ذهبية (Gardner 1961، p. 102).

الصيغ المثلثية الدقيقة لتشمل

			(9)
			(10)
			(11)

يتم إعطاء النسبة الذهبية بواسطة السلسلة

(12)

(ب. كركيل). هناك ارتباط رائع آخر بأرقام فيبوناتشي من خلال السلسلة

(13)

تمثيل من حيث تداخل الراديكالي هو

(14)

(Livio 2002، p. 83). هذا يعادل معادلة تكرار

(15)

مع ، العطاء .

هو الرقم "الأسوأ" الحقيقي لتقريب عقلاني لأن تمثيله المتواصل للكسر

			(16)
			(17)

(OEIS A000012 ؛ Williams 1979، p. 52؛ Steinhaus 1999، p. 45؛ Livio 2002، p. 84) لديه أصغر مصطلح ممكن (1) في كل من القواسم الكثيرة بلا حدود ، مما يعطي المتقاربة التي تتلاقى ببطء أكثر من أي جزء آخر مستمر. على وجه الخصوص ، يتم إعطاء المتقاربة  بواسطة معادلة تكرار التربيعية

(18)

مع ، الذي لديه الحل

(19)

حيث هو ال عدد فيبوناتشي . وهذا يعطي التقاربات القليلة الأولى باعتبارها 1 ، 2 ، 3/2 ، 5/3 ، 8/5 ، 13/8 ، 21/13 ، 34/21 ، ... (OEIS A000045 و A000045 ) ، وهي جيدة إلى 0 ، 0 ، 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 2 ، 3 ، 3 ، 4 ، 4 ، 5 ، 5 ، 5 ، ... (OEIS A114540 ) أرقام عشرية ، على التوالي.

كنتيجة ل،

(20)

كما ثبت لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي روبرت سيمسون في 1753 (ويلز 1986 ، ص 62 ؛ Livio 2002 ، ص 101).

النسبة الذهبية أيضا يفي علاقة تكرار

(21)

أخذ يعطي حالة خاصة

(22)

علاج ( 21 ) كمعادلة متكررة خطية

(23)

في ، ووضع و ، وحل يعطي

(24)

كما هو متوقع. كما ترضى قوى النسبة الذهبية

(25)

أين هو رقم فيبوناتشي (ويلز 1986 ، ص 39).

و شرط بعض الأعداد المركبة التي تنطوي يعطي إجابات بسيطة خاصة، على سبيل المثال

			(26)
			(27)

(D. Hoey، pers. comm.).

في الشكل أعلاه، ثلاثة مثلثات يمكن نقشت في المستطيل  من نسبة الارتفاع التعسفية هذه أن ثلاثة المثلثات لها مساحات متساوية من خلال تقسيم و في النسبة الذهبية. ثم

			(28)
			(29)
			(30)

وكلها متساوية. والعكس صحيح أيضاً ، أي إذا كانت الجوانب المتجاورة للمستطيل مقسمة بأي نسبة ومتصلة بنفس الطريقة ، إذا كانت مساحات المثلثات الخارجية الثلاثة متساوية ، فالجانبان المقسمان هما في النسبة الذهبية (DJ Lewis ، pers. comm.، Jun. 11، 2009).

و نظام الاستبدال

			(31)
			(32)

يعطي

(33)

مما أدى إلى التسلسل

(34)

(OEIS A003849 ). هنا ، تحدث الأصفار في المواضع 1 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 11 ، 12 ، ... (OEIS A000201 ) ، وتحدث تلك في المواضع 2 و 5 و 7 و 10 و 13 و 15 و 18 ، ... (OEIS A001950 ). هذه هي متواليات Beatty التكميلية التي تم إنشاؤها بواسطة و . يحتوي هذا التسلسل أيضًا على العديد من الاتصالات بأرقام فيبوناتشي . يتم رسمها أعلاه (mod 2) كمؤامرة تكرار .

دع جزء استمرار أن يرمز والسماح تدل القواسم من convergents ، ، ...، . كما يمكن أن يرى من المؤامرات أعلاه، فإن الانتظام في جزء استمرار الوسائل التي هي واحدة من مجموعة من الأرقام القياس 0 الذي متواليات جزء المستمر لا تتلاقى ل المستمر Khinchin ل أو ثابت ليفي .

النسبة الذهبية لها إنجل التوسع 1، 2، 5، 6، 13، 16، 16، 38، 48، 58، 104، ... (OEIS A028259 ).

شتاينهاوس (1999، ص. 48-49) يعتبر توزيع أجزاء كسور من في فترات تحدها 0، ، ، ...، ، 1، ويلاحظ أنهم كثيرا زعت بشكل موحد مما كان متوقعا نتيجة للمصادفة (أي ، على مقربة من تسلسل equidistributed ). على وجه الخصوص ، عدد الفترات الفارغة لـ ، 2 ، ... ، هي مجرد 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 0 ، 1 ، 0 ، 2 ، 0 ، 1 ، 1 ، 0 ، 2 ، 2 ،. .. (OEIS A036414 ). يتم إعطاء القيم التي لا تترك أي سلال فارغة لها بعد ذلك 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 10 ، 13 ، 16 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، ... (OEIS A036415). ويشير Steinhaus (1983) إلى أن التوزيع الموحد للغاية له جذوره في الجزء المستمر من أجل .

تسلسل ، من قوة أجزاء كسور ، حيث هو الجزء الكسري ، و equidistributed لل جميع تقريبا الأعداد الحقيقية ، مع النسبة الذهبية يجري استثناء واحد.

أظهر سالم أن مجموعة أرقام Pisot مغلقة ، مع أصغر نقطة تراكم في المجموعة (Le Lionnais 1983).