Dirichlet L-Series

A ديريتشليت -series هو عبارة عن سلسلة من النموذج

(1)

حيث إن الرقم النظري للحرف  هو دالة صحيحة مع الفترة ، تسمى Dirichlet -series. هذه السلسلة مهمة جدا في نظرية الأعداد المضافة (تم استخدامها ، على سبيل المثال ، لإثبات نظرية ديريتشليت ) ، ولها علاقة وثيقة مع أشكال معيارية . ديريتشليت -series يمكن كتابة كما مبالغ transcendents يرش مع و قوة من .

ديريتشليت يتم تنفيذ -series في اللغة ولفرام كما DirichletL [ ك ، ي ، ق ] للحرف ديريتشليت مع معامل ومؤشر .

على فرضية ريمان المعمم التخمين أنه لا دالة زيتا ولا أي ديريتشليت -series لديها الصفر مع الجزء الحقيقي أكبر من 1/2.

و ظيفة امدا ديريتشليت

			(2)
			(3)

وظيفة Dirichlet بيتا

			(4)
			(5)

و ظيفة زيتا

			(6)
			(7)

هي كلها Dirichlet --series (Borwein و Borwein 1987 ، ص 289).

وجد هيكه (1936) علاقة ملحوظة بين كل شكل معياري مع سلسلة فورييه

(8)

و Dirichlet -series

(9)

تتلاقى سلسلة Dirichlet هذه تمامًا مع (إذا كانت نموذجًا لأعواد ) وإذا لم تكن نموذجًا من نوع cusp . على وجه الخصوص ، إذا كانت المعاملات تتناسب مع خاصية الضرب

(10)

عندها سيكون لـ Dirichlet -series تمثيل للنموذج

(11)

وهو متقارب تمامًا مع سلسلة Dirichlet (Apostol 1997، pp. 136-137). بالإضافة إلى ذلك ، اسمحوا أن تكون حتى عدد صحيح ، ثم يمكن أن تستمر من الناحية التحليلية وراء خط مثل هذا

1. إذا ، ثم هو وظيفة كاملة من ،

2. إذا ، هو تحليلي للجميع باستثناء واحد القطب بسيط في مع بقايا معقدة

(12)

أين هي وظيفة غاما ، و

3. يفي

(13)

(Apostol 1997، p. 137).

يسمى الرقم النظري  الرقمية بدائية إذا كان j -conductor  . خلاف ذلك ، هو غير إدماني. ثم يتم تعريف modulo - المتسلسلة البدائية باعتبارها واحدة التي هي بدائية. يمكن التعبير عن جميع طلبات الاستحقاق - من حيث الخيارات البدائية .

دعونا أو ، حيث هي الأولية الفردية الغامضة . ثم هناك ثلاثة أنواع ممكنة من المتسلسلات البدائية مع المعاملات الحقيقية . متطلبات الحقيقية معاملات يقيد عدد طابع نظري ل للجميع و .النوع الثالث ثم 

1. إذا كان (على سبيل المثال ، 3 ، 5 ، ...) أو (على سبيل المثال ، 12 ، 20 ، ...) ، هناك مجموعة واحدة - بدائية واحدة بالضبط .

2. إذا (على سبيل المثال ، 24 ، ...) ، هناك نوعان من البدائي -series.

3. إذا ، أو حيث (على سبيل المثال، و 6 و 9، ...)، لا توجد بدائية -series

(زوكر وروبرتسون 1976). جميع الطلبات البدائية مستقلة جبريًا وتقسم إلى نوعين وفقًا لـ

(14)

بدائية وتدل -series من هذه الأنواع . لبدائية -series مع حقيقي عدد طابع نظري ، إذا ، ثم

(15)

إذا ، إذاً

(16)

وإذا كانت هناك وظيفة بدائية لكل نوع (Zucker and Robertson 1976).

أول سلبيات  - سلبيات أولية هي ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ... (OEIS A003657 ) ، المقابلة تمييع المتوارى من المجالات التربيعية خيالية . القليلة الأولى بدائية إيجابية  -series هي ، ، ، ، ، ،، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ... (OEIS A003658 ).

و رمز كرونيكير  هو حقيقي عدد طابع نظري مودولو ، وهو في الواقع أساسا النوع الوحيد من بدائية الحقيقي عدد الطابع النظري وزارة الدفاع (أيوب 1963). وبالتالي،

(17)

أين هو رمز Kronecker (Borwein و Borwein 1987 ، ص 293).

بالنسبة للقيم البدائية ، تكون رموز Kronecker دورية مع الفترة ، لذلك يمكن كتابتها على شكل مبالغ ، يمكن التعبير عن كل منها من حيث وظيفة تعدد الزوجات  ،

(18)

المعادلات وظيفية ل لهي

			(19)
			(20)

(Borwein and Borwein 1986، p. 303).

للحصول على عدد صحيح موجب

			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)
			(26)

حيث و هي أرقام عقلانية . لا يبدو أن أي شيء عام معروف أو ، على الرغم من أنه من الممكن التعبير عن كل شيء من حيث المعروفين المتعاليين (زوكر وروبرتسون 1976).

 يمكن التعبير عنها من حيث التعاليق

(27)

حيث هو رقم الصف و هو ديريتشليت هيكل ثابت .

ومن المعروف أن أي الأشكال العامة لل و من حيث transcendentals المعروفة. ادواردز (2000) يعطي العديد من الأمثلة على حالات خاصة من . يتم إعطاءعدد من سلسلة بدائية من قبل

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)
			(32)
			(33)
			(34)
			(35)
			(36)
			(37)
			(38)
			(39)
			(40)
			(41)

و تعطى من قبل

			(42)
			(43)
			(44)
			(45)
			(46)
			(47)
			(48)
			(49)
			(50)
			(51)
			(52)

أين هو ثابت كاتالان ، هو وظيفة trigamma ، وهو dilogarithm .

بيلي وبوروين (بيلي وبوروين 2005 ؛ بيلي وآخرون 2006 أ ، ص 5 و 62 ؛ بيلي وآخرون 2006 ب ؛ بيلي وبوروين 2008 ؛ كوفي 2008) تخمينوا العلاقة الفعلية التي أثبتها زاغير (1986) منذ عشرين عامًا تقريبًا في وقت سابق (M. Coffey، pers. comm.، Mar. 30، 2009) التي يتم تقديمها أيضًا بواسطة

			(53)
			(54)
			(55)
			(56)
			(57)

حيث تعزى هذه التعبيرات الأخيرة إلى Coffey (2008ab) ، مع

			(58)
			(59)
			(60)
			(61)
			(62)