الأحد، 18 نوفمبر 2018

Ramanujan g- و G-Functions



بعد رامانوجان (1913-1914) ، اكتب
product_ (ك = 1،3،5، ...) ^ infty (1 + ه ^ (- kpisqrt (ن))) = 2 ^ (1/4) ه ^ (- pisqrt (ن) / 24) G_n
(1)
product_ (ك = 1،3،5، ...) ^ infty (1-ه ^ (- kpisqrt (ن))) = 2 ^ (1/4) ه ^ (- pisqrt (ن) / 24) g_n.
(2)
هذه تلبية المساواة
G_ (4N)=2 ^ (1/4) g_nG_n
(3)
G_n=G_ (1 / ن)
(4)
g_n ^ (- 1)=G_ (4 / ن)
(5)
1/4=(g_nG_n) ^ 8 (G_n ^ 8 ^ g_n 8).
(6)
G_nو g_nيمكن أن تستمد باستخدام نظرية وظائف وحدات ويمكن دائما كما أعرب عن جذور المعادلات الجبرية عندما نغير عقلانية . ترتبط بوظائف ويبر .
لالبساطة، وجدولتها رامانوجان g_nل ن حتى و G_nل ن الغريب . ومع ذلك، ( 6 ) يسمح G_nو g_nيجب حلها لمن حيث g_nو G_n، وإعطاء
g_n=1/2 (G_n ^ 8 + الجذر التربيعي (G_n ^ (16) -G_n ^ (- 8))) ^ (1/8)
(7)
G_n=1/2 (g_n ^ 8 + الجذر التربيعي (g_n ^ (16) + g_n ^ (- 8))) ^ (1/8).
(8)
باستخدام (◇) والمعادلتين السابقتين تسمح G_ (4N)بحسابهما من حيث g_nأوG_n
G_ (4N) = {2 ^ (1/8) g_n (g_n ^ 8 + الجذر التربيعي (g_n ^ (16) + g_n ^ (- 8))) ^ (1/8)؛ ل n؛ 2 ^ (1/8) G_n (G_n ^ 8 + الجذر التربيعي (G_n ^ (16) -G_n ^ (- 8))) ^ (1/8)؛ ل ن الغريب.
(9)
من حيث المعلمة ك ومتكاملة المعلمة ك ^ ،
G_n=(2k_nk_n ^) ^ (- 1/12)
(10)
g_n=((k_n ^ ( '2)) / (2K)) ^ (1/12).
(11)
هنا،
k_n = امدا ^ * (ن)
(12)
هي وظيفة امدا بيضاوي الشكل ، والتي تعطي قيمة كالتي
(K ^ (ك)) / (K (ك)) = الجذر التربيعي (ن).
(13)
حل ل امدا ^ * (ن)يعطي
امدا ^ * (ن)=1/2 [الجذر التربيعي (1 + G_n ^ (- 12)) - الجذر التربيعي (1-G_n ^ (- 12))]
(14)
امدا ^ * (ن)=g_n ^ 6 [الجذر التربيعي (g_n ^ (12) + g_n ^ (- 12)) - g_n ^ 6].
(15)
حل ل G_nو g_nمباشرة من حيث امدا ^ * (ن)يعطي
G_n=2 ^ (- 1/12) [امدا ^ * ^ 2 (ن) -lambda ^ * ^ 4 (ن)] ^ (- 1/24)
(16)
g_n=2 ^ (- 1/12) [1 / (لامدا ^ * (ن)) - امدا ^ * (ن)] ^ (1/12).
(17)


نيمكن العثور على قيم تحليلية للقيم الصغيرة في Ramanujan (1913-1914) و Borwein و Borwein (1987) ، وتم تجميعها بواسطة Weisstein. Ramanujan (1913-1914) يحتوي على أخطاء مطبعية وصفها G_ (465)بأنها G_ (265).
مرسلة بواسطة في
التسميات:

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)