ثابت ارتين

اسمحوا ان تكون ايجابية عدد صحيح nonsquare. بعد ذلك 

 افترض أرتن أن مجموعة  جميع الأعداد الأولية التي تعتبر جذرًا بدائيًا 

هي مجموعة لا نهائية. تحت افتراض فرضية ريمان المعممة 

 تم حل تخمين أرتن بواسطة هولي (1967 ؛ فينش 2003 ، ص 105).

دعونا لا تكون قوة عشر لأي مثل هذا الجزء المربعي من يرضي (وزارة الدفاع 4).

 اسمحوا تكون كل مجموعة من الأعداد الأولية التي هذا هو جذر بدائية .

 ثم حدس أرتين أيضا أن كثافة نسبة إلى يعبي تعطى بشكل مستقل عن اختيار من قبل 

حيث 

(1)

(OEIS A005596 )، و هو التاسع رئيس الوزراء .

يمكن رؤية أهمية ثبات أرتين بسهولة أكبر من خلال وصفه بأنه جزء من الأعداد الأولية  التي لها فترة تكرار أعلى عشرية ، بمعنى ، عبارة عن رأسية كاملة reptend 

(Conway و Guy 1996) تقابل الرقم الدوري .

متصل بوظيفة zeta الأساسية  بواسطة

(2)

أين يوجد رقم لوكاس (Ribenboim 1998، Gourdon and Sebah). 

أعطى مفتاح الربط (1961) 45 رقمًا ، بينما أعطى كل من جوردون وصبابة 60 رقمًا.

إذا و لا تزال مقيدة لا تكون السلطة الرابعة

ثم كثافة ليست نفسها، ولكن عقلانية متعددة منها. 

يتم تخمين الصيغة الصريحة لحساب الكثافة في هذه الحالة

(3)

(ماثيوز ، 1976 ، فينش 2003) 

 أين هي وظيفة موبيوس . 

حالات خاصة يمكن أن تكون مكتوبة أسفل صراحة ل رئيس الوزراء ،

(4)

أو ، حيث على حد سواء يعبي مع ،

(5)

إذا كان المكعب مثاليًا (وهو ليس مربعًا مثاليًا) 

 فإن القوة الخامسة المثالية (التي لا تكون مربعًا مثاليًا أو مكعبًا مثاليًا) ، إلخ 

 تنطبق صيغ أخرى (Hooley 1967، Western و Miller 1968).