هاينتس فون فورستر وزملاؤه (2)

بالفعل، تقترح معادلة فون فورستر شيئاً غريباً للغاية، حيث "تقول" لنا هذه المعادلة إنّنا إذا أردنا أن نعرف عدد سكان العالم (المعدود بالملايين) في سنة معيّنة، نستطيع ذلك بواسطة عملية رياضية بسيطة للغاية، فيجب علينا أن نطرح هذه السنة من 2027 وأن نقسّم 215000 علی الفرق. وطبعا لأوّل نظرة يبدو الألغوريثم مثل هذا غير محتمل إطلاقاً. ولكن لنختبره. لنبدأ بسنة 1970م. لإحصاء عدد سكان العالم في هذه السنة بواسطة معادلة فون فورستر أولاً نطرح 1970 من 2027 ونجد الناتج 57. والآن العملية الوحيدة الباقية هي أن نقسّم 215000 علی الناتج الذي قد حصلنا عليه (وهو 57) وبالتالي سنستطيع أن نحصل علی تقدير عدد سكان العالم في عام 1970م:

215000 ÷ 57 = 3771.9

وفقاً لمعلوماتية مكتب التعداد بالولايات المتحدة (U.S. Bureau of the Census 2006) كان عدد سكان العالم في سنة 1970م 3708.1 مليون نسمة. ولكن من المستحيل أن يدلي أي خبير من خبراء هذا المكتب أنّ عدد سكان العالم كان هذه السنة 3708.1 نسمة بالضبط. فعلاً النتيجة المتحصّل عليها تقع بدقة داخل الهوامش المحيدة(error margins) للتقديرات التجريبية.

والآن لنحسبْ عدد سكان العالم في سنة 1900م بواسطة نفس المعادلة. ومن الواضح أنّه لذلك الغرض يجب علينا أن نقسّم 215000 مليون علی 127 وناتج هذا التقسيم1693 مليون وهذا العدد موجود في حدود التقديرات التجريبية المعروفة (أي بين 1600 و1710 مليون نسمة). (3)

لنكرّر هذه العملية بالنسبة لسنة 1800م:

2027 – 1800 = 227

215000 ÷ 227 = 947.1 (million)

فحسبَ التقديرات التجريبية كان عدد سكان العالم يساوي فعلاً ما بين 900 و980 مليون نسمة. (4) ولنكرّر الآن نفس العملية الحسابية بالنسبة لسنة 1700م:

2027 – 1700 = 337

215000 ÷ 337 = 640 (million)

ومن جديد نجد الناتج داخل هوامش التقديرات التجريبية المعروفة (بين 600 و679 مليون).(5)

فلنكرّر هذا الألغوريثم مرة أخری، بالنسبة لسنة 1400م:

2027– 1400 = 627

215000 ÷ 627 = 343 (million)

وكالمعتاد نجد الناتج داخل الهوامش المحيدة للتقديرات التجريبية.(6) والصورة العامة للتناسق (correlation) بين المنحنی المتحصل عليه بمعادلة فون فورستر والصفّ الأكبر تفصيلاً من التقديرات التجريبية هي ما يلي (الشكل رقم 3):

الشكل رقم 3.   التناسق بين التقديرات التجريبية لعدد سكان العالم (المعدود بالملايين، للفترة ما بين سنة 1000م وسنة 1970م) والمنحنی المشكَّل بمعادلة فون فورستر

الملاحظات:

المحور السيني – السنوات (الميلادية)؛

المحور الصادي – عدد سكان العالم (بملايين النسمة)؛

تعادل الدوائرُ السوداء للتقديراتِ التجريبية لعدد سكان العالم لماك أويدي وجونس (McEvedy, Jones 1978) للفترة ما بين سنة 1000م وسنة 1950م وحسبَ مكتب تعداد السكان بالولايات المتحدة (U.S. Bureau of the Census 2006) للفترة ما بين سنة 1950م وسنة 1970م. وقد تم تشكيل المنحنی الرمادي اللون بواسطة معادلة فون فورستر (معادلة رقم (4)).

وفيما يلي المواصفات الرياضية لهذا التناسق:

R = 0.998

R2 = 0.996

p = 9.4 × 10-17 ≈ 1 × 10-16

ولنذكّر أولئك القرّاء الذين لا يستخدمون الإحصاءات الرياضية في بحوثهم أنه من الممكن أن نعتبر R2 كمقدار التناسق بين الديناميكا المولَّدة من قبل نموذج رياضي والديناميكا الفعلية، ومن الممكن تأويل R2 كنسبة الديناميكا الفعلية المشروحة من قبل المعادلة المعينة. ولنلاحظْ أننا نستطيع تعريب 0.996 ﻛ99.6 بالمئة. وهذا معناه أنّ معادلة فون فورستر بوسعها ان تشرح نسبةً عجيبةً حقاً من كل الماكروديناميكا لسكّان العالم في لفترة ما بين 1000م و1970م حسب تقديرات ماك أويدي وجونس (McEvedy and Jones 1978) ومكتب تعداد السكان بالولايات المتحدة (U.S. Bureau of the Census 2006). (7)

والجدير بالذكر أن التقديرات التجريبية لأعداد سكان العالم في سنوات مختلفة من تاريخ البشر تنتظم تلقائياً وبصورة دقيقة جدّاً علی طول منحنی القطع الزائد وذلك يوضّح سبب تسمية النموّ السكّاني العالمي قبل سبعينيّات القرن السابق بنموّ القطع الزائد أو بالنموّ "الزائدي المقطع".

لقد اكتشف فون فورستر وزملاؤه النموّ الزائدي المقطع لعدد سكان العالم للفترة ما بين سنة 1م وسنة 1958م؛ وبعد ذلك وجد باحثون آخرون أنّ النموّ السكّاني العالمي الزائدي المقطع استمرّ لعدة سنوات بعد عام 1958م، وكذلك أنّ عدد سكان العالم نما نموّاً زائديَّ المقطع أثناء ألفيّات عديدة قبل الميلاد (Kapitza 1992, 1999; Kremer 1993). وبالفعل من الممكن الوصف الرياضي الدقيق (R2 = 0.996) لتقديرات عدد سكان العالم لماك أويدي وجونس (McEvedy and Jones 1978) للفترة ما بين عام 5000 وعام 500 قبل الميلاد، ويبقی الاتّفاق بين الديناميكا المولَّدة من قِبل المعادلة الزائدية المقطع والتقديرات التجريبية عالياً جدّاً (R2 = 0.990)  للفترة ما بين عام 40000 وعام 200 قبل الميلاد (Korotayev, Malkov, and Khaltourina 2006b: 150).

وكذلك تتابع الصورة العامة للديناميكا السكانية العالمية في الفترة ما بين سنة 40000 قبل الميلاد وسنة 1970م النموذج الزائدي المقطع بدقة ملحوظة (الشكل رقم 4):