المنحنيات الإهليلجية

  المنحنيات الإهليلجية  

 منحنى إهليلجي عام على حقل ذو خاصية حقل  ، منحنى عام مكعب

(1)

حيث ، ، ... ، هي عناصر ، يمكن كتابتها في النموذج

(2)

حيث لا يحتوي الجانب الأيمن من ( 2 ) على عوامل متكررة. يمكن أيضًا كتابة أي منحنى إهليلجي ليس بخاصية 2 أو 3 في شكل Legendre العادي

(3)

(Hartshorne 1999).

يتم توضيح المنحنيات الاهليلجية أعلاه لمختلف القيم و .

إذا كان لخاصية الحقل ثلاثة ، فإن أفضل ما يمكن فعله هو تحويل المنحنى إلى

(4)

( لا يمكن استبعاد المصطلح). إذا ديه حقل مميزة اثنين، ثم يزداد الوضع سوءا. ويسمى الشكل العام الذي يمكن من خلاله تحويل المنحنى البيضاوي فوق أي شكل Weierstrass ، ويعطى من قبل

(5)

حيث ، ، ، ، و عناصر من . لحسن الحظ، ، ، و جميعها الحقل مميزة الصفر.

ويعرف منحنى إهليلجي للنموذج لعدد صحيح باسم منحنى موردل .

في حين أن المقاطع المخروطية يمكن أن تكون معلمة بالوظائف العقلانية ، لا يمكن منحنيات إهليلجية. أبسط وظائف المعلمة هي الدوال الاهليلجية . يمكن اعتبار أصناف أبيليان تعميمات للمنحنيات الإهليلجية.

إذا كان الحقل الأساسي لمنحنق إهليلجي مغلقًا جبريًا ، فسيقوم الخط المستقيم بتقطيع منحنى إهليلجي عند ثلاث نقاط (عد الجذور المتعددة عند نقاط التماس). إذا كان من المعروف اثنين ، فمن الممكن لحساب الثالث. إذا كان اثنان من نقاط التقاطع هي - عقلانية ، حتى ذلك الحين هو الثالث. أثبت Mazur و Tate (1973/1974) أنه لا يوجد منحنى إهليلجي لوجود نقطة عقلانية 13.

السماح و تكون نقطتين على منحنى بيضاوي الشكل مع التمايز بيضاوي الشكل

(6)

مرضيه

(7)

كمية ذات الصلة المعروفة باسم ي -invariant من يعرف بأنه

(8)

الآن حدد

(9)

ثم إحداثيات النقطة الثالثة هي

			(10)
			(11)

بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية ، أثبت موردل وجود عدد محدود من الحلول المتكاملة. و نظرية Mordell-ويل تقول إن مجموعة من النقاط عقلانية من المنحنى البيضاوي على تتولد بشكل محدود. السماح لل جذورمن تكون ، و . المميّز إذن

(12)