دراسة مشكلة وارينج

 دراسة مشكلة وارينج 

 من المعروف أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع لا يزيد عن 9 مكعبات إيجابية ( ) ، بحيث أن كل عدد صحيح "كبير بما فيه الكفاية" هو مجموع لا يزيد عن 7 مكعبات إيجابية ( على الرغم من من غير المعروف ما إذا كان من الممكن تخفيض 7) ، وأن كل عدد صحيح هو مجموع 5 مكعبات على الأقل 

( على الرغم من أنه من غير المعروف إذا كان من الممكن تقليل 5 إلى 4).

من المعروف أن كل ما يمكن كتابته في النموذج

(1)

ويعرف منحنى إهليلجي للنموذج لعدد صحيح باسم منحنى موردل .

المعادلة 3.1.2

(2)

هي حالة مبرهنة Fermat الأخيرة مع . في الواقع ، كانت هذه الحالة بالذات معروفة بعدم وجود أي حلول قبل أن يتم إنشاء صلاحية النظرية الأخيرة لفيرمات . أظهر Thue معادلة Diophantine من النموذج

(3)

لـ ، و ، والأعداد الصحيحة ، لديها العديد من الحلول المحدودة (Hardy 1999، pp. 78-79).

Miller and Woollett (1955) and Gardiner et al. (1964) التحقيق في الحلول الصحيحة

(4)

بمعنى ، الأرقام التي يمكن تمثيلها كمجموع ثلاثة ( مكعبات موجبة أو سالبة) .

الحل العقلاني العام للمعادلة 3.1.3

(5)

تم العثور عليها بواسطة Euler و Vieta (Hardy 1999، pp. 20-21؛ Dickson 2005، pp. 550-554). يقدم هاردي ورايت (1979 ، ص. 199-201) حلاً يمكن أن يستند إلى الهويات

			(6)
			(7)

وهذا يعادل الحل العام 3.2.2 الذي وجده Ramanujan (Berndt 1994، pp. 54 and 107؛ Hardy 1999، p. 11، 68، and 237؛ Dickson 2005، pp. 500 and 554). كما تم تقديم هوية جزئية من الشكل التربيعي من قبل Ramanujan (Berndt 1994، p. 56)

(8)

المثال الأول الذي يعطي المعادلة اللطيفة ، والتي هي واحدة من أرقام أفلاطون . يمكن العثور على مثل هذا الشكل شبه التربيعي parametrizations باستخدام الهوية

(9)

حيث ، و ، و ، يتم تقليلها لإيجاد حلول ل  (أو قد يكون المبلغ أي عدد من المكعبات) ، وهو مجرد حالة خاصة لهوية أكثر عمومية (بيزاس 2005).

أصغر 22 حلولا صحيحا

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)
			(24)
			(25)
			(26)
			(27)
			(28)
			(29)
			(30)
			(31)

الحلول الصغيرة الأخرى تشمل

			(32)
			(33)
			(34)
			(35)
			(36)
			(37)
			(38)
			(39)
			(40)
			(41)
			(42)
			(43)
			(44)
			(45)
			(46)
			(47)
			(48)
			(49)

(Fredkin 1972؛ Madachy 1979، pp. 124 and 141؛ Dutch). يتم الاحتفاظ بقاعدة بيانات مع مجموع للجميع من قبل Wroblewski.

تم العثور على حلول عامة أخرى من بينيت (1841) وشويرنغ (1902) ، على الرغم من أن صياغة رامانوجان هي أبسط الحلول. لا يوجد حل عام يعطي كل الحلول المتكاملة الإيجابية المعروفة (Dickson 2005، pp. 550-561). Y. Kohmoto وجد حلا ،

			(50)
			(51)
			(52)
			(53)
			(54)
			(55)
			(56)
			(57)
			(58)

3.1.4 المعادلات تشمل

			(59)
			(60)

3.1.5 المعادلات تشمل

			(61)
			(62)

ويتم إعطاء معادلة 3.1.6 بواسطة

(63)

المعادلة 3.2.2

(64)

لديه حل حدودي المعروف (غي 1994، ص 140؛. ديكسون 2005، ص 550-554)، و 10 حلول مع المبلغ ،

			(65)
			(66)
			(67)
			(68)
			(69)
			(70)
			(71)
			(72)
			(73)
			(74)

(OEIS A001235 ، Moreau 1898). ويرتبط الرقم الأول (Madachy 1979، pp. 124 و 141) في هذا التسلسل ، ما يسمى رقم هاردي-رامانوجان ، بقصة أخبرها عن رامانوجان من قبل GH هاردي ، ولكن كان معروفًا في وقت مبكر من 1657 (Berndt and Bhargava 1993 ). ويطلق على أصغر عدد يمكن تمثيله بطرق كمجموع مكعّب رقم تاكسي .

أعطى Ramanujan حلا عاما لمعادلة 3.2.2

(75)

أين

(76)

(Berndt and Bhargava 1993؛ Berndt 1994، p. 107). شكل آخر بسبب Ramanujan هو

(77)

يثبت هاردي ورايت (1979 ، Theorem 412) أن هناك أرقامًا يمكن التعبير عنها كمجموعتين مكعبتين بطرق لأي (Guy 1994، pp. 140-141). والدليل هو بناء، وتوفير طريقة لحساب هذه الأعداد: نظرا rationals أرقام  و ، حساب

			(78)
			(79)
			(80)
			(81)

ثم

(82)

و قواسم يمكن الآن أن يتم مسح لإنتاج حل صحيح. إذا يتم انتقاؤها أن تكون كبيرة بما فيه الكفاية، و سوف تكون إيجابية . إذا لا يزال أكبر، و سوف تكون كبيرة بما يكفي ل و لاستخدامها المدخلات لإنتاج الزوج الثالث، وما إلى ذلك، الأعداد الصحيحة الناتجة قد تكون كبيرة جدا، حتى بالنسبة لل . على سبيل المثال ، بدءا ، يجد الخوارزمية

(83)

إعطاء

			(84)
			(85)

الأرقام قابلة للتعبير بثلاث طرق كمجموعتين من المكعبات ( معادلة)

			(86)
			(87)
			(88)
			(89)
			(90)

(Guy 1994، OEIS A003825 ). وجد ويلسون (1997) 32 رقمًا يمكن تمثيلها بأربعة طرق كمجموعتين ( معادلة). الأول هو

(91)

أصغر الأرقام المعروفة التي يمكن تمثيلها هي 6963472309248 ، 12625136269928 ، 21131226514944 ، 26059452841000 ، ... (OEIS A003826 ). وجد ويلسون أيضا ستة مبالغ خمسة اتجاهات ،

	(92)
	(93)
	(94)
	(95)
	(96)
	(97)
	(98)
	(99)
	(100)
	(101)
	(102)
	(103)
	(104)
	(105)
	(106)
	(107)
	(108)
	(109)
	(110)
	(111)
	(112)
	(113)
	(114)
	(115)
	(116)
	(117)
	(118)
	(119)
	(120)
	(121)

ومبلغ واحد من ستة اتجاهات

(122)

الحل لمعادلة 3.4.4 هو

(123)

(Madachy 1979، pp. 118 and 133).

3.6.6 المعادلات موجودة أيضا:

	(124)
	(125)
	(126)

(Madachy 1979، p. 142؛ Chen Shuwen).

في 1756-1757 ، أعطى أويلر (1761 ، 1849 ، 1915) حلا شامليا ل

(127)

مثل

			(128)
			(129)
			(130)

على الرغم من أن الحلول الرئيسية نسبيا تتطلب استخدام قيم كسرية (Dickson 2005 ، ص 578). لتجنب ذلك ، أعطى أويلر أيضًا الحلول

			(131)
			(132)
			(133)

ل ، و

			(134)
			(135)
			(136)

for (Dickson 2005، p. 579).